強度計算・実践への一歩
[断面の計算] 座標移動/回転を配慮した、各形状の断面特性、式の誘導・計算2007-5,rev2011-3 Mori Design Office
■基礎事項
 ・座標移動 x = x - xo  y = y - yo  --@
 ・座標回転 x = x・cos α + y・sin α  y = y・cos α - x・sin α  --A
 ・1次モーメント Gx = ∫A y dA  Gy = ∫A x dA            --B
    座標系x y の原点を図心とする場合、 Gy = Gx = 0        --C
    左図の例2において、xo, yo を xg, yg と明記して
    座標系 x y のx軸に関する1次モーメントは   Gx = ∫A y + yg dA = Gy + yg・A = yg・A
    同様に      y軸に関する1次モーメントは  Gy = xg・A
    従って、図心位置 (xg,yg) = ( GyA, GxA)   但し、 Aは図形面積     --D
 ・断面2次モーメント Ixx, Iyy, 断面相乗モーメント Ixy
  座標移動 I x x = ∫A y 2 dA = Ixx - 2yo・Gx + yo2・A   なお、 yo = y - y  Gx = Gx + yo・A     --E
I y y = ∫A x 2 dA = Iyy - 2xo・Gy + xo2・A   なお、 xo = x - x  Gy = Gy + xo・A     --F
I x y = ∫Axy dA = Ixy - xo・Gx - yo・Gy + xo・yo・A    又は = Ixy - xo・Gx - yo・Gy - xo・yo・A  --G
 例1:座標軸x が図心を通る、 Ix x = Ixx - 2・yo・( 0・A) + yo2・A = Ixx + yo2・A
 例2:座標軸x が図心を通る、 Ix x = Ixx - 2・yo・(yo・A) + yo2・A = Ixx - yo2・A
          (注) 但し、軸の位置関係は xo = x - x,  yo = y - y であり、 xo, yoは 負の場合もあり得る。
  即ち、図形移動での yo = y - y の場合では 式Eは、  I x x = Ixx + 2yo・Gx + yo2・A --E'
  座標回転 I x x = Ixx・cos2α + Iyy・sin2α - Ixy・sin 2α =  12(Ixx + Iyy) + 12(Ixx - Iyy)・cos 2α - Ixy・sin 2α  -H
I y y = Ixx・sin2α + Iyy・cos2α + Ixy・sin 2α =  12(Ixx + Iyy) -12(Ixx - Iyy)・cos 2α + Ixy・sin 2α -I
I x y = ∫A (x・cos α + y・sin α)(y・cos α - x・sin α) dA = 12 (Ixx - Iyy)・sin 2α + Ixy・cos 2α   -J

断面形状 断面2次モーメント I  ( 基軸U-V, 添え字g:重心、c:中心または先端 )
Ixg = ∫-h/2h/2b・y2 dy = b・h3/12   Iyg = h・b3/12
Ixyg = ∫A x・ydA = ∫-b/2b/2 { x∫-b/2b/2y dy} dx = 0
Iξ = Ixg・cos2α + Iyg・sin2α
Iη =Ixg + Iyg - Iξ
Iξη = (Ixg - Iyg)・sin(-2α)/2
A = b・h 
従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、Gx=0,Gy=0 故
Iu = Iξ + v2・A  Iv = Iξ + u2・A  Iuv = Iξη + A・u・v
Ixg = ∫-h/32h/3y2・b・( 23- yh) dy = b・h3/36  尚、h = a・sinθ  b1 = a・cosθ  yo = h/3  A = h・y/2
Iy = ∫-b10{ x2・(b1-x)・h/b1 } dy + ∫0b2{ x2・(b2-x)・h/b2 } dy = h・b13/12 + h = h・(b13 + b23)/12
Iyg = Iy - xo2・A = {h・(b13 + b23)/12} - {(-b1+ b2)/3}2・{bh/2} = h・(b13 + b23 + 2b1 b2b)/36
Ixy1 =0h x0 x・y dxdy = 0h [ x 2 2] -b1(h-y)/h 0dy= - 12 0h {b1(h-y)/h}2 y dy =-b12h2/24 同様に、Ixy2 = b22h2/24
Ixyg = Ixy1 + Ixy1 - xo・yo・A = -b12h2  24__ + b22h2  24__ - -b1 + b2   3____ h 3 bh  2_ = (b12-b22)h2/72
 尚、 Gx = ∫0h bh(h-y) ・y dy = b・h2/6   yo = Gx/A = h/3
    Gy = x1oA1 + x2oA2 = -b13 b1h2 + b23 b2h2 = hb・(-b1+b2)/6  xo = Gy/A = 2Gy/bh = (-b1+b2)/3  
Iug = Ixg・cos2 α + Ivg・sin2 α - Ixyg・sin(-2α)  Ivg = Ixg + Iyg - Iug
Iuvg = -12 (Ixg - Iyg)・sin 2α + Ixyg・cos 2α
さて、ug = xg・cos α - yg・sin α   vg = yg・cos α + xg・sin α  
従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、
 Iu = Iug + (uc+ug)2・A  Iv = Ivg + (vc+vg)2・A   Iuv = Iuvg + (uc+ug)・(vc+vg)・A
Ixc = ∫θ1θ 2 r1r2 r3sin2θ drdθ = 116(r24 - r14) [2θ2- 2θ1- sin2θ2+ sin2θ1]
Iyc = ∫θ1θ 2 r1r2 = 116(r24 - r14) [2θ2- 2θ1+ sin2θ2- sin2θ1]
Ixyc = ∫θ1θ 2 r1r2 r3cosθ・sinθ drdθ = -116(r24 - r14) [cos2θ2- cos2θ1]
Gyc = ∫θ1θ 2 r1r2 r2cosθ drdθ = (r23 - r13)(sinθ2-sinθ1)/3
Gxc = ∫θ1θ 2 r1r2 r2sinθ drdθ = (r23 - r13)(cosθ1-cosθ2)/3
A = (r22 - r12)・(θ2 - θ1)/2   xg = Gyc / A   yg = Gxc / A
Ixg = Ixc - yg2・A   Iyg = Iyc - xg2・A   Ixyg = Ixyc - xg・yg・A
従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、
Iu = Ixg + (vc+yg)2・A  Iv = Iyg + (uc+xg)2・A   Iuv = Ixyg + (uc+xg)・(vc+yg)・A

 
なお、全面 (h=2b ) の場合
 面積 A= π・a・b
 断面2次モーメント Ix= πab3/4
 
  →式誘導説明
A = 2ab b-hb (b2-y2)1/2dy = 2ab βπ/2 { (b2-y2)1/2 (dy/dt)dt }y=b・sin t = a・b2{π - 2β - sin 2β }
Gx = 2ab b-hb y・(b2-y2)1/2dy = 2ab β π/2 (b・sin t )・(b・cos t)2 dt = 23a・b2・cos3β     Gy = 0
Ix = 2ab b-hb y2(b2-y2)1/2 dy= 2ab βπ/2 (b・sin t)2・b・(cos t) dydt・dt = 116 a・b3・{ 2π - 4β + sin 4β }
Iy = 2・∫oXex2・{ ab (a2-x2)1/2 - b + h } dx = a3・b・(α - sin 4α4)/4 - 23 (b - h)・xe3   Ixy = 0
但し、 β= sin-1 ( b-hb)    xe = ab (b2-y2)1/2 = ab (2b・h - h2)1/2   α = sin-1(xe/a)
重心位置での断面2次モーメントは、 Ixg = Ix - yg2・A   Iyg = Iy - xg2・A   Ixyg = Ixy - xg・yg・A   なお、 xg = 0  yg = Gx / A
uc,vc からの重心位置は、   ug = xg cos(-θ) + yg sin(-θ) = -yg sin θ   vg = yg cos(-θ) - xg sin(-θ) = yg cos θ   rev.2024-02-16
Iug = Ixg・cos2 θ + Iyg・sin2 θ - Ixyg・sin(-2θ)  Ivg = Ixg + Iyg - Iug
Iuvg = -12 (Ixg - Iyg)・sin 2θ + Ixyg・cos 2θ
 
従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、
  Iu = Iug + (vc+yg)2・A  Iv = Ivg + (uc+xg)2・A   Iuv = Iuvg + (uc+xg)・(vc+yg)・A    rev.2024-02-16

■曲げ応力と断面係数
 横断面の図心を原点とする座標に於いて、一方の座標軸が横断面形状の中心の対象位置であり、この軸に外部の曲げモーメントIの位置方向とが一致する場合、
 座標原点は曲げ応力が零(σ=0)の中立軸上にあり、曲げの公式が成立する。
 即ち中立軸から距離ηにおける曲げ応力σは、
         σ= M―― Z ここに、断面係数 Z =  I―― η    --K
 なお、対称図形であるので、この軸及び直交軸とに関する 断面相乗モーメントIxyは 零となる。
 形材などの複合図形の断面2次モーメントは、全体の重心位置を原点とする基準軸で、前述の座標移動の式EFによる各部毎の断面2次モーメントの合計である。  I = Σ Ikk

[慣性主軸と断面主2次モーメント]
 ■前述の式H座標回転角αに関し、最大・最小の断面2次モーメント
  最大・最小の断面2次モーメント即ち、重心を通るを軸(慣性主軸)とする断面主2次モーメントについて、式Hの x, y を u, v と
  記述、基準軸からの慣性主軸の角度αを用いずに、断面主2次モーメントを求める式として、
  { Iuu-(Ixx-Iyy)/2 }2 + Iuv2 を 式Hと式Jで計算すると、cos22α+sin22α=1 であり、及び cos2α・sin2αの項は相殺されて
  角度αが消え、そして重心を通る軸 Iuv=0 であり整理して、
     最大: I1 ≡ Iuu = ( Ixx + Iyy )/2 + { ( Ixx - Iyy )2 + 4・Ixy2 } 0.5 /2   --L rev 2024-2-25
     最小: I2 ≡ Ivv = ( Ixx + Iyy )/2 - { ( Ixx - Iyy )2 + 4・Ixy2 } 0.5 /2   --M rev 2024-2-25
  この軸の角度αは、Iuu の式Hに於いて、微分が零 ( d Iuu/dα=0 ) にて、 -(Ixx-Iyy)・sin2α - 2・Ixy・cos2α = 0 で求められる。
  又は、式Jの 断面相乗モーメント Iuv = 0 にて、
     tan2α = 2・Ixy / (Iyy-Ixx)    --N rev 2024-2-25
  なお、I1の軸とI2の軸はαが90度の周期がある故、この両軸は直交する。
  ★曲げモーメントが慣性主軸の方向である場合、即ち慣性主軸の軸回転させる方向である場合は、軸上は曲げ応力零であり
   この軸と中立軸とが一致し、前述式Kの σ=M・η/I が適用できる
 
■曲げ応力
  慣性主軸の座標点P(u,v)での曲げ応力 σ を 慣性主軸のU,V方向に分解し、 σu= v Mu / Iuu  σv=−u Mv / Ivv
   σ=σu+σvMu--- Iuuv Mv--- Ivvu = M cos φ Iuuv − M sin φ Ivvu
     = M・{ v ---I 1 cos φu ---I 2 sin φ }   --O
  なお、上式にてσ=0 である中立軸の位置角度 β = tan-1 { I 1---I 2tan φ }    --P rev 2024-2-25
詳細→非対称曲げ応力
 その他 参照:  断面特性の計算の基礎  四角形の作成と計算  断面計算画面(山形)
          単純ねじり・曲げねじり、各種断面・薄肉断面→ねじり剛性

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