・記号
ヤング率 E [kgf/mm2] 板厚ｔ [mm] ポアソン比 ν [無単位]ニュー
板の曲げ剛性 Ｄ = E･ｔ3/ 12(1 - ν2) [kgf･mm]
集中荷重 P [kgf] 分布荷重 p [kgf/mm2] たわみ ω [mm]
曲げモーメント M [kgf] せん断力 Q [kgf/mm] 反力 V [kgf/mm]
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・円筒曲げの場合 曲げによる曲率半径ρx、ひずみεx、中立面からの距離zの関係は、 梁の計算の基礎の③式 ε=h/ρ と同様に考えて、 εx= -z/ρx この場合、ひずみεy=0 更に 応力σz=0 と見なせて、 εy= (σy-νσx)/E = 0 即ち、σy=νσx 従って、 εx= (σx-νσy )/E =σx(1-ν2 )/E σx = E･εｘ/(1-ν2) (ﾊ)に(ｲ)を代入して、σx= -E1 - ν 2 zρx 従って、モーメントは、 Mx= ∫-t/2t/2 σx z dz = -E 1 - ν 2 1ρx ∫-t/2t/2 z2 dz = -D/ρx 但し、板の曲げ剛性 D = E･t3 / {12(1-ν2 )} 一方、中立面から最遠距離 zo = t/2 であり、式(ﾆ)(ﾎ)より、 Mx= σxzo ∫-t/2t/2 z2 dz = σxt2/6 上式を変形して、曲げ応力の算出式 σ = 6M/t2 |
------ (ｲ) ------ (ﾛ) ------ (ﾊ) ------ (ﾆ) ------ (ﾎ) ------ (ﾍ) ------ (ﾄ) |
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・等方性板の釣り合い方程式(p=分布荷重)、及曲げモーメントの式
∂4ω ∂4ω ∂4ω p －－－－ + 2 －－－－－－ + －－－－ = －－－－ ∂x4 ∂x2∂y2 ∂y4 D ∂2ω ∂2ω ∂2ω ∂2ω M x = －D ( -------- + ν --------- ) M y = －D ( -------- + ν --------- ) ∂x2 ∂y2 ∂y2 ∂x2 Mxy = Myx = －D( 1 - ν)∂2ω∂x∂y ■たわみ式の複級数展開による解 (Navier及び Levy) ・長方形で相対2辺が単純支持の場合: a4λ4Dπ4 ∞ ∞ amn m=1 n=1 (λ2･m2 + n2)2 ω = －－－- {∑ ∑ －－－－－－－－－－－- sin αm x･sin βn y } ∞ m=1 + ∑{Amcosh αm y + Bm･αm y･sinh αm y + Cmsinh αm y + Dm･αm y･cosh αm y}･sin αm x a2λ2π2 ∞ ∞ (λ2･m2 + νn2)･amn m=1 n=1 (λ2･m2 + n2)2 Mx = －－－－- {∑ ∑ －－－－－－－－－－－－－－- sin αm x･sin βn y } ∞ m=1 Dπ2a2 + －－－- {∑{m2(ν1 Am － 2νBm)･cosh αm y + m2･(ν1 Cm - 2νDm)･sinh αm y + m2ν1 Bm･αm y･sinh αm y + m2ν1 Dm･αm y･cosh αm y}･sin αm x a2λ2π2 ∞ ∞ (νλ2･m2 + n2)･amn m=1 n=1 (λ2･m2 + n2)2 My = －－－－- {∑ ∑ －－－－－－－－－－－－－－- sin αm x･sin βny } ∞ m=1 Dπ2a2 - －－－- {∑{m2(ν1 Am + 2Bm)･cosh αm y + m2･(ν1 Cm + 2Dm)･sinh αm y + m2ν1 Bm･αm y･sinh αm y + m2ν1 Dm･αm y･cosh αm y}･sin αm x ここに、αm = mπ/a βn = nπ/b λ = b/a ν1 = 1 - ν ( なお、Mxy,Q,V は記述省略。) |
---- ① ---- ② ---- ③ ---- ④ ---- ⑤ |
更に、
amn は、荷重の級数展開係数 である。 ( 荷重 q = ∑∑amn sin mπxa･sin nπyb)
・等分布荷重 qoの場合
amn = 16qo / (π2mn) なお m = 1,3,5,7･･･ n = 1,3,5,7･･･
・集中布荷重 Pの場合
amn = 4Pab･sin mπua･sin nπvb なお m = 1,2,3,4･･･ n = 1,2,3,4･･･
未定数 Am,Bm,Cm,Dm
・y =0,b が 単純支持 (全辺単純支持)
Am=Bm=Cm=Dm = 0
・y = 0,b が 固定
Am = 0 Dm = F1 - Cm
Bm = {-F2･(sinh αmb - αmb cosh αmb ) - F1･(αmb - sinh αmb cosh αmb)} / R
R = αm2b2 - sinh2αmb Cm = αmb･(F･sinh αmb + F1･αmb)
a4λ3 ∞ m･Dπ4 n･amn n=1 (λ2･m2 + n2)2
F1 = -－－－－－- ∑ －－－－－－－－－- F2 = －－－－－－- ∑ －－－－－－－－－- a4λ3 ∞ m･Dπ4
(-1)n-1 n･amn n=1 (λ2･m2 + n2)2
なお、上記の式を単級数に変換できる。詳細 → 板の計算 (単級数)
・４辺固定の場合
級数式のマトリックス解となる。 詳細 → 板の計算 (全辺固定)、板の計算 (３辺固定･１辺自由)
☆ プログラムは、「構造力学･強度計算への一歩」のを参照願います。
プログラムには、全周固定支持、2辺単純支持･他辺各種支持(固定･弾性･自由)があります。 お問合わせの回答2011-02-27
